Платоновы тела
Платоновыми
телами называются правильные
однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все
грани и углы которых равны, причем грани -
правильные многоугольники. Платоновы тела -
трехмерный аналог плоских правильных
многоугольников. Однако между двумерным и
трехмерным случаями есть важное отличие:
существует бесконечно много различных
правильных многоугольников, но лишь пять
различных правильных многогранников.
Доказательство этого факта известно уже
более двух тысяч лет; этим доказательством
и изучением пяти правильных тел
завершаются "Начала" Евклида.
Доказательство
того, что существует ровно пять правильных
выпуклых многогранников, очень простое.
Рассмотрим развертку вершины такого
многогранника. Каждая вершина может
принадлежать трем и более граням.
Сначала
рассмотрим случай, когда грани
многогранника - равносторонние
треугольники. Поскольку внутренний угол
равностороннего треугольника равен 60°, три
таких угла дадут в развертке 180°. Если
теперь склеить развертку в многогранный
угол, получится тетраэдр - многогранник, в
каждой вершине которого встречаются три
правильные треугольные грани. Если
добавить к развертке вершины еще один
треугольник, в сумме получится 240°. Это
развертка вершины октаэдра. Добавление
пятого треугольника даст угол 300° - мы
получаем развертку вершины икосаэдра. Если
же добавить еще один, шестой треугольник,
сумма углов станет равной 360° - эта
развертка, очевидно, не может
соответствовать ни одному выпуклому
многограннику.
Теперь
перейдем к квадратным граням. Развертка из
трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° -
получается вершина куба, который также
называют гексаэдром. Добавление еще одного
квадрата увеличит угол до 360° - этой
развертке уже не соответствует никакой
выпуклый многогранник.
Три
пятиугольные грани дают угол развертки 3*72°=216
- вершина додекаэдра. Если добавить еще один
пятиугольник, получим больше 360° - поэтому
останавливаемся.
Для
шестиугольников уже три грани дают угол
развертки 3*120°=360°, поэтому правильного
выпуклого многогранника с шестиугольными
гранями не существует. Если же грань имеет
еще больше углов, то развертка будет иметь
еще больший угол. Значит, правильных
выпуклых многогранников с гранями,
имеющими шесть и более углов, не существует.
Таким
образом, мы убедились, что существует лишь
пять выпуклых правильных многогранников -
тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными
гранями, куб (гексаэдр) с квадратными
гранями и додекаэдр с пятиугольными
гранями.
Существует
семейство тел, родственных платоновым - это
полуправильные выпуклые многогранники, или
архимедовы тела. У них все многогранные
углы равны, все грани - правильные
многоугольники, но нескольких различных
типов. Существует 13 или 14 архимедовых тел (число
неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр
иногда не причисляют к этому семейству).
Кроме того, имеют равные многогранные углы
и правильные грани нескольких типов тела из
двух бесконечных семейств - призмы и
антипризмы (последние также называют
скошенными призмами).
Кроме
того, платоновым телам близки тела Кеплера-Пуансо,
или правильные однородные невыпуклые
многогранники.